解：电路图可知，定值电阻$R_2$与滑动变阻器$R_1$串联，电压表测量滑动变阻器两端电压，电流表测量电路电流；
$(1)$当滑片$P $位于最左端时，电路为定值电阻的简单电路，
根据欧姆定律可得此时通过电路的电流：$I=\frac {U}{R_2}=\frac {6\ \mathrm {V}}{20\ \mathrm {Ω}}=0.3\ \mathrm {A}$，
即电流表示数为$0.3\ \mathrm {A}$；
$(2)$滑片$P $每移动$1\ \mathrm {cm}$，$R_1$的电阻变化$0.5\ \mathrm {Ω}$，某同学测试时，从最左端推动滑片$P $向右移动$20\ \mathrm {cm}$，此时滑动变阻器接入电路的电阻：$R_1=0.5\ \mathrm {Ω}\mathrm {/cm}×20\ \mathrm {cm}=10\ \mathrm {Ω}$，
串联电路总电阻等于各部分电阻之和，根据欧姆定律可得此时通过电路的电流：
$I'=\frac {U}{R_1+R_2}=\frac {6\ \mathrm {V}}{10\ \mathrm {Ω}+20\ \mathrm {Ω}}=0.2\ \mathrm {A}$，
此时滑动变阻器两端的电压：$U_1=I'R_1=0.2\ \mathrm {A}×10\ \mathrm {Ω}=2\ \mathrm {V}$，
即电压表示数为$2\ \mathrm {V}$；
$(3)$当电压表示数为$3\ \mathrm {V} $时，滑动变阻器接入电路的阻值最大，电路电流最小，
因串联电路两端电压等于各部分电压之和，所以定值电阻$R_2$两端电压：$U_2=U-U_{V}=6\ \mathrm {V}-3\ \mathrm {V}=3\ \mathrm {V}$，
电路中最小电流：$I_{小}=\frac {U_{V}}{R_{1最大}}=\frac {3\ \mathrm {V}}{15\ \mathrm {Ω}}=0.2\ \mathrm {A}$，
根据欧姆定律可得此时定值电阻的阻值：$R_2'=\frac {U_2}{I_{小}}=\frac {3\ \mathrm {V}}{0.2\ \mathrm {A}}=15\ \mathrm {Ω}$，
已知电流表量程为$0～0.6\ \mathrm {A}$，滑动变阻器允许通过的最大电流为$1\ \mathrm {A}$，根据串联电路电流特点可知电路中的最大电流为$0.6\ \mathrm {A}$，当滑动变阻器接入电路的阻值为$0$时，电路电流最大，电路为定值电阻$R_2$的简单电路，
根据欧姆定律可得此时通过电路的电流：$I_{大}=\frac {U}{R_2'}=\frac {6\ \mathrm {V}}{15\ \mathrm {Ω}}=0.4\ \mathrm {A}＜0.6\ \mathrm {A}$，
所以既能保证电路各元件的安全，又能使滑片$P $移动到最右端，选取$R_2$时，其阻值不能小于$15\ \mathrm {Ω}.$
