$解:底端将滑动2m.理由如下:$ $ 如图，在Rt△ABC中，AB=10m，AC=8m，$ $∴BC²=AB²-AC²=10²-8²=36，$ $∴BC=6m. $ $ ∵AD=2m，$ $∴CD=AC-AD=8-2=6(\mathrm {m}).$ $ 在Rt△CDE中,DE=AB=10m,CD=6m，$ $ ∴CE²=DE²-CD²=10²-6²=64,$ $ ∴CE=8m，$ $∴EB=CE-BC=8-6=2(\mathrm {m}).$ $ 故梯子底端将水平滑动2m$
$解:(2)∵AB=50，$ $∴MD=\frac{1}{2}×50=25.\ $ $∵CD=48,$ $∴ND=\frac{1}{2}×48=24.\ $ $又MN⊥CD，$ $∴在 Rt△MND 中,$ $MN²=MD²- ND²=25²-24²=49,$ $∴MN=7.$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$解:(2)∵D是斜边BC的中点，$ $BD=5，\ $ $∴BC=2BD=10.\ $ $在Rt△ABC中，$ $由勾股定理， 得AB= \sqrt{BC²-AC²}= \sqrt{10²-6²}=8.\ $ $又BE=CE,$ $∴CE+AE=BE+AE=AB=8,\ $ $∴△ACE的周长=CE+AE+AC=8+6=14.$ $（更多请点击查看作业精灵详解）$
$解:(2)①当AP=BA=5\ \mathrm {cm}时，t=5;\ $ $②当AB=BP时，AP=2AC=8\ \mathrm {cm}，$ $∴t=8;\ $ $③当PB=PA时，PB=PA=t\ \mathrm {cm},CP=(4-t)\ \mathrm {cm},\ $ $在Rt△BCP中,BP²=BC²+CP²,\ $ $即t²=3²+(4-t)²，$ $解得t=\frac{25}{8}\ $ $综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为5或8或\frac{25}{8}$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$证明:(1)连接MC、MD.\ $ $∵∠ACB=∠ADB=90°,M是AB的中点.\ $ $∴在Rt△ABC中,CM=\frac{1}{2}AB，$ $在Rt△ABD 中， DM=\frac{1}{2}AB，$ $∴MC=MD.\ $ $又N是CD的中点，$ $∴MN⊥CD.$
$证明:(1)∵D是斜边BC的中点，DE⊥BC，\ $ $∴DE是线段BC的垂直平分线，$ $∴BE=CE.\ $ $在Rt△ACE中，$ $由勾股定理，得CE²=AC²+AE²,\ $ $∴BE²=AC²+AE²,$ $∴BE²-AE²=AC².$
$解:(1)∵∠ACB=90°,AB=5\ \mathrm {cm},BC=3\ \mathrm {cm},\ $ $∴AC²=AB²-BC²=5²-3²=16，$ $∴AC=4\ \mathrm {cm}.\ $ $①当∠APB为直角时，点P与点C重合，$ $AP=AC=4\ \mathrm {cm}，$ $∴t=4;$ $\ ②当∠ABP为直角时，$ $AP=t\ \mathrm {cm},CP=(t-4)\ \mathrm {cm},\ $ $在Rt△BCP中,BP²=3²+(t-4)²,\ $ $在Rt△BAP中,BP²=t²-5²,\ $ $∴3²+(t-4)²=t²-5²,$ $解得t=\frac{25}{4}\ $ $综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或\frac{25}{4}.$
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