$解：(1)∠BOD-∠AON=15°.理由如下：$
$因为∠AOB=45°，∠COD=30°，$
$ \begin{aligned}所以∠BOD-∠AON&=∠AOB+∠AOD-(∠AOD+∠COD) \\ &=∠AOB-∠COD \\ &= 15° \\ \end{aligned}$
$(2) 因为∠AOB=45°，∠COD=30°，$
$所以当边OB旋转至射线OM上时，t= 180÷6=30；$
$当边OA旋转至射线ON上时，t=45÷6=\frac{15}{2}；$
$当边OB与边OD重合时，t=30÷(6-3)= 10.$
$若∠BOD +∠AON=60° ，则分类讨论如下：$
$①当0≤t≤\frac{15}{2}时，∠AON=(45-6t)°，∠BON= 6t°，∠DON=(3t+30)°，$
$所以∠BOD=∠DON -∠BON=(30-3t)°，$
$所以30-3t+(45-6t)=60，解得t=\frac{5}{3}；$
$②当\frac{15}{2}\lt t\lt 10时，∠AON =(6t-45)°，∠BOD= (30-3t)°，$
$所以30-3t+(6t- 45)= 60，解得t =25，不合题意，舍去；$
$③当10≤t≤30时，∠AON = (6t-45)°，∠BON=6t°，∠DON=(3t+30)°，$
$所以∠BOD=∠BON-∠DON=(3t-30)°，$
$所以3t- 30+ (6t-45)=60，解得t=15$
$综上所述，当t=\frac{5}{3}或15时，∠BOD +∠AON= 60°。$
