$解:(1)等边三角形不是“类勾股三角形”理由如下:\ $
$设等边三角形的三边长分别为a、b、c, 则a=b=c，\ $
$∴ab+a²=a²+a²=2a²＞c²,\ $
$∴等边三角形不是“类勾股三角形”.$
$(2)∵等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,AC= BC,AB＞AC,\ $
$∴AC×BC+AC²=AB²,$
$∴BC²+AC²=AB²,\ $
$∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.\ $
$∵AC=BC，$
$∴∠A=∠B=45°.$
$(3)如图，过点B作BG⊥AC，垂足为G，在GA上截取GD=GC，连接BD，\ $
$∴BG是CD的垂直平分线，\ $
$∴BD=BC=a,$
$∴∠C=∠BDC.\ $
$∵∠C=2∠A,$
$∴∠BDC=2∠A.\ $
$∵∠BDC=∠A+∠ABD,$
$∴∠A=∠ABD,\ $
$∴DA=BD=a,$
$∴CD=AC-AD=b-a，\ $
$∴DG=CG=\frac{1}{2}CD=\frac{b-a}{2}，\ $
$∴AG=AD+DG=a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}\ $
$在Rt△ABG中,BG²=AB²-AG²=c²-(\frac{a+b}{2})²,$
$在Rt△BGC中,BG²=BC²-CG²=a²-(\frac{b-a}{2})²,$
$∴c²-(\frac{a+b}{2})²=a²-(\frac{b-a}{2})²，\ $
$∴a²+ab=c²,\ $
$∴△ABC为“类勾股三角形”.$
