解：$(1)$解方程$4x-2=x+10$，得$x=4$
∵关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是$“$美好方程$”$
∴关于$x$的方程$3x+m=0$的解为$x=1-4=-3$
∴$-3×3+m=0$，∴$m=9$
$(2)$由题意，得另一个解为$1-n$
∵$“$美好方程$”$的两个解的差为$8$
∴$n-(1-n)=8$或$n-(1-n)=-8$
解得$n=4.5$或$n=-3.5$
$(3)$解方程$\frac {1}{2024}x+1=0$，得$x=-2024$
∵关于$x$的一元一次方程$\frac {1}{2024}x+3=2x+k$
和$\frac {1}{2024}x+1=0$是$“$美好方程$”$，
∴关于$x$的一元一次方程$\frac {1}{2024}x+3=2x+k$的
解为$x=1-(-2024)=2025$
∴关于$x$的一元一次方程$\frac {1}{2024}x=2x+k-3$的解为$x=2025$
∴关于$x$的一元一次方程$\frac {1}{2024}x=2(x-1)+k-1$的
解为$x=2025$
令$x=y+1=2025$，则原方程等价为$\frac {1}{2024}(y+1)=2y+k-1$
∴关于$y$的一元一次方程$\frac {1}{2024}(y+1)=2y+k-1$的
解为$y=2025-1=2024$
