解：$(1)$设$B$的底面半径为$r$厘米，
$B$的高为$20÷ (1+\frac {1}{4})=16($厘米$)$
∵$A$与$B$体积相同
∴$π×2²×20=π×r²×16$，解得$r²=5$
∵$π=3$
∴$B$的底面积$=πr²=15$平方厘米
∴圆柱$B$的底面积是$15$平方厘米
$(2)V_{总}=8×6×20=960($立方厘米$)$
由$V_A=V_B$
$V_A+V_B=2V_B=15×16×2=480($立方厘米$)$
∴$V_{之前}=V_{总}-2V_B=480($立方厘米$)$
则之前高度$=\frac {480}{6×8}=10($厘米$)$
∴放入圆柱$A$，$B$之前的水面高度为$10$厘米
$(3)$当水面与$B$等高时，
$V_{水箱}=8×6×16=768(\mathrm {cm}^3)$
∴相较于水面高度等于圆柱$A$高度时的体积相差
$V=960-768=192($立方厘米$)$
∴需将$A$提起的高度为
$\frac {V}{S_{A底面积}}=\frac {192}{π×2²}=16($厘米$)$
$ $故需要将圆柱$A$提起$16$厘米
