解：$(1)$设第一次购进乙种苹果$x$千克，
则购进甲种苹$ $果$(3x+10)$千克$ $
根据题意，得$8x+5(3x+10)=970$
解得$x=40$
$3x+10=130$
则该水果店第一次购进的甲、乙两种苹果
分别为$130$千克和$40$千克
$(2)$设第二次乙种苹果按原价打$y$折销售
$130×(10-5)+40×4×(15×\frac {y}{10}-8)=1290$
解得$y=8$
故第二次乙种苹果按原价打八折销售
