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证明：∵$MN$平分$∠BMH$，$HG $平分$∠CHM$

∴$∠1=\frac {1}{2}∠BMH$，

$∠2=\frac {1}{2}∠CHM$

∵$AB//CD$

∴$∠BMH=∠CHM$

∴$∠1=∠2$，∴$MN//GH$

证明：∵$AB//CD$

∴$∠4=∠BAF=∠1+∠CAF$

∵$AD//BC$

∴$∠3=∠DAC=∠2+∠CAF$

∵$∠1=∠2$

∴$∠BAF=∠DAC$

∴$∠3=∠4$

解：$ (1)$当点$D$在线段$CB$上时，如图$(1)$所示；

当点$D$在线段$CB$的延长线上时，如图$(2)$所示

$(2)①$如图$(1)$，当点$D$在线段$CB$上时，

此时$∠EDF=∠BAC$，证明如下：

∵$DE//AB$，∴$∠DEC=∠BAC$

∵$DF//AC$，∴$∠EDF=∠DEC$

∴$∠EDF=∠BAC$

$②$如图$(2)$，当点$D$在线段$CB$的延长线上时，

此时$∠EDF+∠BAC=180°$，证明如下：

∵$DE//AB$，∴$∠EDF+∠F=180°$

∵$DF//AC$，∴$∠F=∠BAC$

∴$∠EDF+∠BAC=180°$

解：∵点$C$是线段$AB$的中点，$AC=6$

∴$AB=2AC=12$

$①$如图$(1)$，若点$D$在线段$AC$上

∵$AD=\frac {1}{2}BD$

∴$AD=\frac {1}{3}AB=4$

∴$CD=AC-AD=6-4=2$

$②$如图$(2)$，若点$D$在线段$AC$的反向延长线上

∵$AD=\frac {1}{2}BD$

∴$AD=AB=12$

∴$CD=AC+AD=6+12=18$

综上所述，$CD$的长为$2$或$18$

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