解：$(2)$设$∠COA=α$
$ ①$当$0°＜n≤60°$时，如图$(1)$
由$(1)$，得$∠BOC-∠AOD=30°$；
$②$当$60°＜n≤90°$时，如图$(2)$
$∠BOC=90°-n$，$∠AOD=n-60°$
∴$∠BOC+∠AOD=90°-n+n-60°=30°$；
$③$当$90°＜n≤180°$时，如图$(3)$
$∠BOC=n-90°$，$∠AOD=n-60°$
∴$∠AOD-∠BOC=n-60°-(n-90°) =30°$
综上所述，当$ 0°＜n≤60°$时，$∠BOC- ∠AOD=30°$
当$60°＜n≤90°$时，$∠BOC+ ∠AOD=30°$
当$90°＜n≤180°$时，$∠AOD -∠BOC=30°$
$(3)$∵$△COD$按每分钟$15°$的速度旋转
∴$OD$按每分钟$15°$的速度旋转
同理，$OB$按每分钟$9°$的速度
∵$∠BOD=∠BOA+∠AOD=90°+60°=150°$
∴$150÷(15-9)=25($分钟$)$
故$25$分钟时，$OD$边第一次与$OB$边重合
