解:$(1)$由$|a|=5$,$|b|=3$得$a=±5$,$b=±3$
∴$a=5$,$b=3$,或$a=5$,$b=-3$,或$a=-5$,$b=3$,或$a=-5$,$b=-3$
当$a=5$,$b=3$时,$a+b=8$;当$a=5$,$b=-3$时,$a+b=2$;
当$a=-5$,$b=3$时,$a+b=-2$;当$a=-5$,$b=-3$时,$a+b=-8$
综上所述,$a+b$的值是$±8$或$±2$
$(2)$由$|a|=5$,得$a=±5$
当$a=5$,$a+b=-2$时,$b=-7$;
当$a=-5$,$a+b=-2$时,$b=3$
综上所述,$b$的值是$-7$或$3$
$(3)$由$|a|=5$,$|b|=3$得$a=±5$,$b=±3$
∵$a<b$,∴$a=-5$,$b=3$,或$a=-5$,$b=-3$
当$a=-5$,$b=3$时,$a+b=-2$;
当$a=-5$,$b=-3$时,$a+b=-8$
综上所述,$a+b$的值是$-2$或$-8$