解：$(1)$当$m=2$，$n=1$时，$(m+n)²=(2+1)²=9$，$\mathrm {m^2}+2mn+n^2=2²+2×2×1+1²=9$
$(2)(m+n)²=m²+2mn+n²$
$(3)$当$m=4$，$n=-2$时，$(m+n)²=[4+(-2)]²= 2²=4$，
$m²+2mn+n^2=4²+2×4×(-2)+(-2)²=16+(-16)+4=4$，
∴$(m+n)²=m²+2mn+n^2$仍成立
$(4)$根据$(2)$中的结论$\mathrm {m^2}+2mn+n^2=(m+n)²$知
当$m=0.125$，$n=0.875$时，$m²+2mn+n^2=(m+n)²=(0.125+0.875)²=1$
