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解：$(1)$∵$x=-2$，$y=3$

∴$x＜y$

∴$m=|x|-3y=|-2|-3×3=-7$

$(2)$由题意知$m=y$

当$x＞y$时，即$y＜4$，有$y=|x|+3y$

∴$y=4+3y$

∴$y=-2$

当$x≤y$时，即$y≥4$，有$y=|x|-3y$

∴$y=4-3y$

∴$y=1($不合题意，舍去)

综上，$y$的值为$-2$

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