第15页 - 启东中学作业本七年级数学人教版

-14

解：∵$2^{2023}-2^{2022}=2^{2022}×(2-1)=2^{2022}$，$2^{2022}-2^{2021}=2^{2021}×(2-1)=2^{2021}···$

∴$2^{n+1}-2^n=2^n×(2-1)=2^n$

∴原式$=2^{2023}-2^{2022}-···-2^3-2^2+2$

$=2^{2022}-2021-···-2^3-2^2+2$

$=2^{2021}-2^{2020}-···-2^3-2^2+2$

······

$ =2^2+2$

$=6$

55

$\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$

解：$(3)51^2+52^2+···+99^2+100^2$

$ =(1^2+2^2+···+99^2+100^2)-(1^2+2^2+···+49^2+50^2)$

$=\frac {100×101×201}{6}-\frac {50×51×101}6$

$=338350-42925=295425$

解：$(1)$设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{100}$

将等式两边同时乘$2$，得$ 2S=2+2^2+2^3+2^4+···+2^{101}$

将下式减去上式，得$ 2S-S=2^{101}-1$

即$S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{100}=2^{101}-1$

$(2)$设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^n$

将等式两边同时乘$3$，得$ 3S=3+3^2+3^3+3^4+···+3^{n+1}$

将下式减去上式，得$ 3S-S=3^{n+1}-1$，即$2S=3^{n+1}-1$

故$S=1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^n=\frac {3^{n+1}-1}{2}$