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$ 证明:(1)连接BE$

$ 因为四边形ABCD是正方形$

$ 所以∠BAD=∠BAE=90°$

$ 所以BE是圆O的直径$

$ 因为∠FAB+∠EAF=90°,∠EAF=∠EBF,∠FBG=∠FAB$

$ 所以∠FBG+∠EBF=90°$

$ 所以∠OBG=90°$

$ 即OB⊥BG$

$ 因为BE是圆O的直径$

$ 所以BG与圆O相切.$

$ $

$ 证明：(1)连接OC$

$ 因为AB是圆O的直径，所以∠ACB=90°$

$ 所以∠A+∠ABC=90°$

$ 因为OC=OB，所以∠ABC=∠OCB$

$ 因为CD是圆O的切线$

$ 所以CD⊥OC$

$ 所以∠OCB+∠BCD=90°$

$ 所以∠BCD=∠A.$

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$证明：(1)因为∠E是△ABC中∠A的遥望角$

$所以∠EBC=\frac {1}{2}∠ABC，$

$∠ECD=\frac {1}{2}∠ACD$

$所以∠E=∠ECD-∠EBD$

$=\frac {1}{2}(∠ACD-∠ABC)$

$=\frac {1}{2}∠A$

$因为∠A=α$

$所以∠E=\frac {1}{2}α$