$ 解:第一次是点 A 以 B 为旋转中心, 顺时针旋转 90^{\circ} 得到 A_{1} ,$
$ 长方形的对角线 A B 长为 \sqrt{3^{2}+4^{2}}=5 \mathrm{cm} , 此次 A 点走过的路径为 A A_{1} 弧,$
$ A A_{1}=2 \pi \times 5 \times \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{5 \pi}{2}(\mathrm{cm}) \text {, }$
$ 第二次是点 A_{1} 以 C 为旋转中心, 顺时针旋转 90^{\circ} 得到 A_{2} ,$
$ \because C A_{1} 的长为 3 \mathrm{cm}, A_{2} C 与桌面成 30^{\circ} 角,$
$ \therefore \angle A_{1} C A_{2}=60^{\circ} \text {, }\therefore 此次 A 点走过的路径为 A_{1} A_{2} 弧,$
$ A_{1} A_{2}=2 \pi \times 3 \times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\pi(\mathrm{cm}) \text {, }\therefore A 点走过的路径为 \frac{5 \pi}{2}+\pi=3.5 \pi(\mathrm{cm}) ,$
