解:$(1)$∵$a$的相反数是$3$,$b$的绝对值是$7$
∴$a= -3$,$b=±7$
$(2)$∵$a=-3$,$b=±7$,$c $与$b$的和是$-8$
∴当$b=7$时,$c=-15$;$ $当$b=-7$时,$c=-1.$
当$a=-3$,$b=7$,$c=-15$时,$8-a+b-c=8-(-3)+7-(-15)=33$;
当$a=-3$,$b=-7$,$c=-1$时,$8-a+b-c=8-(-3)+(-7)-(-1)=5$