解:$(1)M_{(5)}+M_{(6)}=(-2)^5+(-2)^6=-32+64=32$
$(2)2M_{(2023)}+M_{(2024)}=2×(-2)^{2023}+(-2)^{2024}$
$=-2×2^{2023}+2^{2024}=-2^{2024}+2^{2024}=0$
$(3)$∵$2M_{(\mathrm {n})}+M_{(n+1)}=2×(-2)^n+(-2)^{n+1}=-(-2)×(-2)^n+(-2)^{n+1}$
$=-(-2)^{n+1}+(-2)^{n+1}=0$
∴$2M_{(\mathrm {n})}$与$M_{(n+1)}$互为相反数