解：$(1)$∵$B$区的长为$(a+b)m$，宽为$(a-b)m$
∴每个$B$区长方形场地的周长为$2[(a+b)+(a-b)]=2(a+b+a-b)=4a(\mathrm {m})$
$(2)$整个长方形运动场的周长为
$2[(a+a+b)+(a+a- b)]=2(a+a+b+a+a-b)=8a(\mathrm {m})$
$(3)$当$a=20$，$b=10$时，长为$2a+b=50(\mathrm {m})$，宽为$2a-b= 30(\mathrm {m})$
∴整个长方形运动场的面积为$50×30=1500(\mathrm {m^2})$
