解:$(1)$当$x=0$时,$2x=0$,$10-3x=10$,∴$x=0$不是方程的解
当$x=2$时,$2x=4$,$10-3x=4$,∴$x=2$是方程的解
当$x=3$时,$2x=6$,$10-3x=1$,∴$x=3$不是方程的解
$(2)$当$x=-1$时,$(x-2)(x+1)=0$,∴$x=-1$是方程的解
当$x=1$时,$(x-2)(x+1)=-2$,∴$x=1$不是方程的解
当$x=2$时,$(x-2)(x+1)=0$,∴$x=2$是方程的解