解：$(1)$∵当$x=2$时，代数式$5(x-1)+3mx$的值为$ -7$
∴$5×(2-1)+3m×2=-7$，解得$m=-2$
由题意，得$5(x-1)-6x=-1$，解得$x=-4$
∴当$x=-4$时，这个代数式的值是$-1$
$(2)$由题意，得$3y+a=2y+4$，即$y=4-a$
∵$y=3$，∴$4-a=3$，解得$a=1$
则关于$y$的一元一次方程为$3(y+1)=2y+4$，解得$y=1$
综上所述，$a$的值是$1$，方程正确的解是$y=1$
$(3)$∵$x=\frac {1}{2}$是方程$6(2x+m)=3m+2$的解
∴$6×(2×\frac {1}{2}+m)=3m+2$，解得$m=-\frac {4}{3}$
由关于$y$的方程$my+2=m(1-2y)$得$y=\frac {m-2}{3m}=\frac {-\frac 43-2}{3×(-\frac 43)} =\frac {5}{6}$
