解:$(1)$设第一次购进芒果$x$千克,则第二次购进芒果$ (800-x)$千克
由题意,得$14(800-x)=1.5×12x$
解得$x=350$,则$800-350=450($千克$)$
答:第一次购进芒果$350$千克,第二次购进芒果$450$千克$.$
$(2)$设超市对剩下的芒果打$y$折销售
由题意,得$18×500+22×\frac y{10}×(800-500)-12×350-14×450=4440$
整理,得$9000+660y-4200-6300=4440$
$ $解得$y=9$
答:超市对剩下的芒果打$9$折销售$.$