解；$(1)$设长方体的高为$x\mathrm {cm}$，则长方体的宽为$(12-2x)\mathrm {cm}$
根据题意，得$12-2x+8+x+8=25$，解得$x=3$
∴长方体的高为$3\ \mathrm {cm}$，宽为$6\ \mathrm {cm}$
长方体的体积为$8×6×3=144(\mathrm {cm}^3)$
$(2)$包装纸箱的长为$15\ \mathrm {cm}$，宽为$12\ \mathrm {cm}$，高为$8\ \mathrm {cm} $时，所用材料最少
