解：$(1)$∵$OE$平分$∠BOD$
∴$∠DOE=∠BOE=\frac {1}{2}∠BOD$
又∵$∠AOC=∠BOD$
∴$∠DOE=\frac {1}{2}∠AOC=\frac {1}{2}×50°=25°$
$(2)$当$OF $在直线$AB$的上方时，如图
∵$OF⊥OE$，∴$∠EOF=90°$
∴$∠DOF=∠EOF-∠DOE=90°-25°=65°$
当$OF $在直线$AB$的下方时，如图
∵$OF⊥OE$，∴$∠EOF=90°$
∴$∠DOF=∠EOF+∠DOE=90°+25°=115°$
$ $故$∠DOF $的度数为$65°$或$115°$
