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$解:(1)设一共去了x名成人，则去了(12-x)名学生.$

$由题意，得35x+35×0.5(12-x)=350，$

$解得x=8，$

$则12-x=4.$

$所以一共去了8名成人、4名学生$

$(2)如果购买团体票，按16人计算，那么共需费用为35×0.6×16=336(元)，336\lt 350，$

$所以购买团体票更省钱$

$解:(1)根据题意，得3(x+300)-4x=300，$

$解得x=600.$

$所以 x的值为600$

$(2)设甲工程队单独施工m天，则乙工程队单独施工(22-m)天.$

$根据题意，得(600+300)m+600(22-m)=15000，$

$解得m=6，$

$则22-m=16$

$所以该段时间内体育中心需要支付3600×6+2200×16=56800(元)施工费用$