$ 解：(1)∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA，$
$ ∴△ACO是等边三角形，$
$ ∴∠AOC=60°.$
$ (2)∵CP与⊙O相切，OC是半径，$
$ ∴CP⊥OC.$
$ 又∵∠AOC=60°，$
$ ∴∠P=90°-∠AOC=30°，$
$ ∴在Rt△POC中，CO=\frac {1}{2}PO=4，$
$ 则PO=2CO=8.$
$ (3)如图.$
$ ①作点C关于直径AB的对称点M_1，连接AM_1，OM_1，$
$ 易得{S}_{△{M}_1AO}=S_{△CAO}，∠AOM_1=60°，$
$ ∴弧AM_1=\frac {4π×60}{180}=\frac {4}{3}π，$
$ ∴当点M运动到M_1时，S_{△MAO}=S_{△CAO}，此时点M经过的弧长为\frac {4}{3}π.$
$ ②过点M_1作M_1M_2∥AB交⊙O于点M_2，连接AM_2，OM_2，易得{S}_{△{M}_2AO}=S_{△CAO}，$
$ ∴∠AOM_1=∠M_1OM_2=∠BOM_2=60°，$
$ ∴弧AM_2=\frac {8}{3}π，$
$ ∴当点M运动到M_2时，S_{△MAO}=S_{△CAO}，此时点M经过的弧长为\frac {8}{3}π.$
$ ③过点C作CM_3∥AB交⊙O于点M_3，连接AM_3，OM_3，易得{S}_{△{M}_3AO}=S_{△CAO}，$
$ ∴∠BOM_3=60°，$
$ ∴弧AM_3=\frac {16}{3}π，$
$ ∴当点M运动到M_3时，S_{△MAO}=S_{△CAO}，此时点M经过的弧长为\frac {16}{3}π.$
$ ④当点M运动到C时，M与C重合，S_{△MAO}=S_{△CAO}，$
$ 此时点M经过的弧长为\frac {4π×300}{180}=\frac {20}{3}π.$
