解：$(1)$因为$-\frac {15}{17}÷(-\frac {13}{15})=\frac {225}{221}＞1$，
所以$-\frac {15}{17}＜-\frac {13}{15}.$
$(2)$当$a=0$时，$a^2=a.$
当$a＞1$时，$\frac {a^2}a=a＞1$，所以$a^2＞a.$
当$0＜a＜1$时，$\frac {a^2}a=a＜1$，所以$a^2＜a.$
当$a＜0$时，$a^2＞0$，$a＜0$，所以$a^2＞a.$
综上所述，当$a＞1$或$a＜0$时，$a^2＞a$；当$0＜a＜1$时，$a^2＜a$；
当$a=0$时，$a^2=a.$
