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$解：∵AB是圆O的直径$

$∴∠C=90°$

$∵∠A=35°$

$∴∠ABC=90°-∠A=55°$

$解：连接OB、OC$

$∵∠A=30°$

$∴∠BOC=2∠A=60°$

$∵OB=OC$

$∴△OBC是等边三角形$

$∴OB=BC=10\ \mathrm {cm}$

$则圆O的直径为2OB=20\ \mathrm {cm}$

$解：连接BC$

$∵OD⊥AB$

$∴∠AOD=90°$

$在Rt△AOD中，∠DAO=30°$

$∴AD=2OD=10\ \mathrm {cm}， AO=\sqrt{AD^2-OD^2}=5\sqrt{3}\ \mathrm {cm}$

$在Rt△ABC中，∠BAC=30°$

$∴ BC=\frac 12AB=AO=5\sqrt{3}\ \mathrm {cm}$

$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=15\ \mathrm {cm}$

$证明：连接BC$

$∵AD=AC=AB$

$∴∠D=∠DBA，∠DCB=∠ABC$

$∵∠D+∠DBA+∠DCB+∠ABC=180°$

$∴2(∠DBA+∠DCB)=180°$

$即∠CBD=90°$

$∴∠CBE=90°$

$∴CE是圆O的直径$