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解：该四边形的对边之和相等

$证明：∵AB =BC，PB⊥AC$

$∴AP= PC$

$∴∠MPB=∠CPB$

$∵PB⊥BC，且BC为半圆的半径$

$∴PB为半圆的切线$

$又∵PN为半圆的切线$

$∴∠BPC=∠CPN$

$∴∠MPB=∠BPC=∠CPN$

$解：(1)如图所示$

$(2)R=2r，理由如下：$

$设△ABC的内切圆与AC相切于点E ，连接OE ， OC$

$∵AC是圆O的切线$

$∴OE⊥AC$

$∵△ABC是等边三角形$

$∴∠ACB = 60°$

$∴ ∠ECO=\frac 12∠ACB=30°$

$∴OC= 2OE，即R= 2r$

解：如图所示

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