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$ 解：如图所示，圆O为正△ABC的外接圆$

$ ∵∠OAC=30°$

$ ∴ OD=\frac 12AC=\frac 12R$

$ ∴ AD=\sqrt{AO^2-OD^2}=\frac {\sqrt{3}}2R$

$ 则边长为 AC=2AD=\sqrt{3}R$

$ 面积为 3×\frac 12×AC×OD=\frac {3\sqrt{3}}4R^2$

$ 解：如图所示，四边形ABCD是正方形，圆O是正方形ABCD的外接圆，AB=a$

$ ∵AC⊥BD，OA=OB$

$ ∴△AOB是等腰直角三角形$

$ ∴∠OAB=45°， OA^2+OB^2=AB^2$

$ ∴ OA=\frac {\sqrt{2}}2a$

$ 答：选用的圆形铁片的半径至少是 \frac {\sqrt{2}}2a。$

解:由正多边形的轴对称性我们可以得到正多边形如下的性质:垂直于正多边形的一条边的

对称轴平分正多边形的边,并且平分正多边形的中心角(正多边形每一边所对的外接圆的圆心角)

正n边形都是旋转对称图形，最小的旋转角就是 $\frac {360°}n$，也就是说,正n边形旋转 $\frac {360°}n$可以与自身重合

可以发现正多边形有如下性质:正多边形的每条边相等,正多边形的每个中心角相等

$解：设小三角形的一条直角边为x\ \mathrm {cm}(x>0)$

$由题意得 x^2+x^2=(4-2x)^2$

$解得x=4-2\sqrt{2}$

$∴边长为 4-2x=4\sqrt{2}-4$

$面积为 4×4-4×\frac 12×(4-2\sqrt{2})^2=32\sqrt{2}-32(\ \mathrm {cm^2})$