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解:$(1)$如图所示$.$
$7^2-5^2=24.$
$(2)8^2-6^2=28($个$)$
故第$5$个图形最外圈有$28$个黑色棋子$.$
$(3)4^2-2^2=4×3=12$
$5^2-3^2=4×4=16$
$6^2-4^2=4×5=20$
$7^2-5^2=4×6=24$
···
$(n+2)^2-n^2=4×(n+1)$
所以$101^2-99^2=4×100=400.$
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