解：$(1)$当电位器$R $接入电路的电阻$R_2$为$20\ \mathrm {Ω}$时，
$ $通过电阻$R_1$的电流：
$ I=\frac{U}{R_1+R_2}=\frac{6\ \mathrm {V}}{10Ω+20Ω}=0.2\ \mathrm {A}$；
$ (2)$当电位器$R $接入电路的电阻$R_3$为$10\ \mathrm {Ω}$时，
电路中的电流：
$ I'=\frac{U}{R_1+R_3}=\frac{6\ \mathrm {V}}{10Ω+10Ω}=0.3\ \mathrm {A}$，
$ $小灯泡$R_1$的电压：
$ U_1=I'R_1=0.3\ \mathrm {A}×10Ω=3\ \mathrm {V}.$
