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$解：连接AE，$

$∵∠DOE=60°$

$∴∠DAE=\frac {1}{2}∠DOE=30°$

$∵AB为\odot O的直径$

$∴∠AEB=90°$

$∴∠AEC=90°$

$∴∠C=180°-∠AEC-∠DAE=180°-90°-30°=60°$

$证明：连接AD，$

$∵AC为\odot O直径$

$∴∠ADC=90°$

$∴∠DAC+ACD=90°$

$∵∠EBC=∠DEC=∠DAC$

$∴∠EBC+ACD=90°$

$∴∠BGC=180°-( ∠EBC+∠ACD ) =90°$

$∴AC⊥BH$

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