$解：(1)分两种情况：$
$①当0≤t≤ 2，点P在BC上时，如图$
$14^2-\frac 12×4×t-\frac 12×(4-t)×2t-\frac 12×(4-2t)×4=11$
$解得， t_1=3(舍去)，t_2= -1(舍去)$
$②当2<t≤4，点P在CD上时，如图2$
$\frac 12×4× (8- 2t)= 11解得，t=\frac 54(舍去)$
$∴综上所述，不存在符合条件的t值，使△PQD的面积为11\ \mathrm {cm}²$
$(2)$存在。
∵点$P $在$BC$上运动
∴$0≤t≤2$
∵$△PQD$是以$PD$为一腰的等腰三角形
∴$PD=QD$或$PD=PQ$
$①PD=QD$
$(4-2t)^2+4^2=t^2+4^2$
解得，$t-1=\frac 43，$$t-2=4($舍去$)$
$②PD=PQ$
$(4 -2t)^2+4^2=(2t)^2+(4-t)^2$
解得，$t-1=4\sqrt {2}-4，$
$t-2=-4\sqrt {2}-4($舍去$)$
∴综上所述，$t=\frac 43$或$t=4\sqrt {2}-4$
