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$解:设BD=xm,则AB=BC=(x+1)m$

$∵BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$

$∴解得x=1.5$

$∴BD=1.5m$

$解:易知,EB=ED,设ED=xcm,则AE=(8-x)cm$

$有AE^{2}+AD^{2}=DE^{2}$

$解得x=5$

$∴DE=5cm$

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$证明:连接BD,过B作BF⊥DE延长线于F,则BF=b-a$

$∵S_{五边形ACBED}=S_{△ACB}+S_{△ABE}+S_{△ADE}=\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}b^{2}+\frac {1}{2}ab$

$又∵S_{五边形ACBED}=S_{△ACB}+S_{△ABD}+S_{△BDE}=\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}c^{2}+\frac {1}{2}a(b-a)$

$∴\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}b^{2}+\frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}c^{2}+\frac {1}{2}a(b-a)$

$∴a^{2}+b^{2}=c^{2}$