解：$(1)∠COE=∠BOF $
理由：因为$CO⊥AB$，$OF⊥OE$，
所以$∠COB=∠EOF=90°. $
所以$∠COB-∠BOE=∠EOF-∠BOE$，即$∠COE=∠BOF.$
$(2)$设$∠1=x.$
因为$∠2-∠1=20°$，
所以$∠2=20°+x$，
因为$CO⊥AB$，
所以$∠COA=∠COB=90°.$
所以$∠1+∠2=90°$，即$x+20°+x=90°$，
解得$x=35°.$
所以$∠1=35°.$
所以$∠BOD=∠1+∠COB=35°+90°=125°.$
因为$OE$是$∠BOD$的平分线，
所以$∠BOE=\frac {1}{2}∠BOD=62.5°.$
