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解：$(2)$因为$C$是线段$AD$的中点，$AD=10$，

所以$AC=CD=\frac {1}{2}AD=5.$

因为$BC=4AB$，

所以$AB=1$，$BC=4.$

所以$BD=BC+CD=4+5=9.$

所以$DE=BD=9.$

所以$AE=AD+DE=10+9=19.$

解：如图①，当点$C$在点$B$的右侧时，

因为$AB=4$，且$2BC=3AB$，所以$BC=6.$

所以$AC=AB+BC=4+6=10.$

因为$M$是线段$AC$的中点，所以$AM=CM=\frac {1}{2}AC=5.$

所以$BM=AM-AB=5-4=1.$

如图②，当点$C$在点$B$的左侧时，

因为$AB=4$，且$2BC=3AB$，所以$BC=6.$

所以$AC=BC-AB=6-4=2.$

因为$M$是线段$AC$的中点，

所以$AM=CM=\frac {1}{2}AC=1.$

所以$BM=AB+AM=4+1=5.$

综上所述，线段$BM$的长为$5$或$1.$

BC

2或14

解：$(2)$因为$E$为线段$AC$中点，$EC=8$，所以$AC=2CE=16.$

$①$点$D$在线段$AC$上时，如图①，

因为$CD=6$，所以$AD=AC-CD=16-6=10.$

因为$D$为折中点，所以$AD=CD+BC.$

所以$BC=AD-CD=10-6=4$；

$②$点$D$在线段$BC$上时，如图②，

因为$CD=6$，所以$AC+CD=16+6=22.$

所以$BD=22.$

所以$BC=BD+CD=22+6=28.$

综上所述，$CB$的长度是$4$或$28.$

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