解：$(1)$用三角板还能作出$75°$和$105°$的角等，如图所示.
$(2)$因为$∠AOB=90°$，$∠COD=30°$，
所以$∠BOD+∠AOC=360°-∠AOB-∠DOC=240°$，
因为$∠POB=2∠DOP$，$ ∠QOA=2∠QOC$，
所以$∠DOP=\frac {1}{3}∠BOD$，$∠QOC=\frac {1}{3}∠AOC$，
所以$∠DOP+∠QOC=\frac {1}{3}(∠BOD+∠AOC)=80°$，
因为$∠POQ=∠DOP+∠QOC+∠COD$，$∠COD=30°$，
所以$∠POQ=80°+30°=110°.$
