解：$(1)$设$∠AOC=α°$，则$∠AOB=∠AOC+∠BOC=α°+90°$，
因为$OD$平分$∠AOB$，$OE$平分$∠AOC$，
所以$∠DOE=∠AOD-∠AOE=\frac {1}{2}∠AOB-\frac {1}{2}∠AOC=\frac {1}{2}(α°+90°)-\frac {1}{2}α°=\frac {1}{2}×90°=45°$
$(3)①$当$OC$在$AM$上，即$OC$在$∠BOM$之间，
设$∠AOC=α°$，则$∠AOB=∠AOC-∠BOC=α°-m°$，
因为$OD$平分$∠AOB$，$OE$平分$∠AOC$，
所以$∠DOE=∠AOD-∠AOE=\frac {1}{2}∠AOC-\frac {1}{2}∠AOB=\frac {1}{2}α°-\frac {1}{2}(α°-m°)=\frac {m°}{2}$；
$②$当$OC$在直线$AM$下方，且$OC$在$∠MON$之间时，$∠BOC=∠AOC=m°$，
$∠DOE=∠AOE-∠AOD=\frac {1}{2}∠AOC+\frac {1}{2}∠AOB=\frac {1}{2}∠BOC=180°-\frac {m°}{2}$；
$③$当$OC$在直线$AM$下方，且$OC$在$∠AON$之间时，由②得，$∠BOC=m°$，
$∠DOE=\frac {1}{2}∠AOC+\frac {1}{2}∠AOB=\frac {1}{2}∠BOC=\frac {m°}{2}.$
综上所述，$∠DOE=\frac {m°}{2}$或$180°-\frac {m°}{2}.$
