解：$(2)$由折叠可知$∠CBA=∠CBF$，
所以$∠CBF=\frac {1}{2}∠ABF$，
因为$BE$平分$∠FBD$，
所以$∠EBF=∠EBD=\frac {1}{2}∠DBF$，
又因为$∠ABF+∠DBF=180°$，
所以$∠CBF+∠EBF=90°$，即$∠CBE=90°$，
所以$BE⊥BC.$
$(3)$依照题意画出图形如图，
设$∠FBE=x°$，
因为$BE$是$∠FDB$的角平分线，
所以$∠DBF=∠FBE=x°.$
由翻折可知，$∠FBM=∠FBE=x°.$
因为$BM$平分$∠FBC$，所以$∠FBC=2∠FBM=2x°.$
所以$∠ABC=∠FBC=2x°.$
又因为$∠ABC+∠FBC+∠FBE+∠DBE=180°$，
即$2x+2x+x+x=180$，解得$x=30.$
所以$∠FBE=30°.$
