解：$(2)$由题意可得$4=x^2-3x$
∴$\frac 23x^2-2x+3=\frac 23(x^2-3x)+3$
$=\frac 23×4+3=\frac {17}{3}$
$(3)$由题意可得$p=\mathrm {m^2}-n$，$q=n^2-p$
∴$q=n^2-(\mathrm {m^2}-n)=n^2-\mathrm {m^2}+n$
∵$p-\frac 12q=2$
∴$2p-q=4$
∴$2(\mathrm {m^2}-n)-(n^2-\mathrm {m^2}+n)=4$
∴$2\ \mathrm {m^2}-2n-n^2+\mathrm {m^2}-n=4$
∴$3\ \mathrm {m^2}-n^2-3n=4$
∴$n^2-3\ \mathrm {m^2}+4=-3n$，$n^2-3\ \mathrm {m^2}+3n=-4$
∴原式$=n · (-3n)+9(\mathrm {m^2}-n)+2012$
$=-3n^2+9\ \mathrm {m^2}-9n+2012$
$=-3(n^2-3\ \mathrm {m^2}+3n)+2012$
$=-3×(-4)+2012$
$=12+2012$
$=2024$
