解：$(1)$解方程$4x-(x+5)=1$得$x=2$
解方程$-2y-y=3$得$y=-1$
∵$2+(-1)=1$，满足方程的解之和为$1$
∴方程$4x-(x+5)=1$与方程$-2y-y=3$是$“$美好方程$”$
$(2)$解方程$3x-2=x+4$，得$x=3$
若两个方程是“美好方程”
则方程$\frac {x}2+m=0$的解为$1-3=-2$
将$x=-2$代入方程可得$\frac {-2}2+m=0$，$m=1$
$(3)$解方程$\frac {1}{2024}x-1=0$，得$x=2024$
$\frac {1}{2024}(y+2)+1=3y+k+6$可化为$\frac {1}{2024}(y+2)+1=3(y+2)+k$
则由题可知关于$x $的方程$\frac {1}{2024}x-1=0$与关于$(y+2)$的
方程$\frac {1}{2024}(y+2)+1=3(y+2)+k$是$“$美好方程$”$
∴方程$\frac {1}{2024}(y+2)+1=3(y+2)+k$的解为$1-2024=-2023$
即$y+2=-2023$，$y=-2025$
