解：$(3)t_{秒后}$，$AP=2t$，$AQ=12-t(0≤t≤6)$
$①$由题意可知$A$不可能为$P$，$Q $两点的巧点，此情况排除
$②$当$P $为$A$，$Q $的巧点时
若$ AP=\frac 13AQ$，即$2t=\frac 13(12-t)$，解得$t=\frac {12}7s$；
若$AP=\frac 12AQ$，即$2t=\frac 12(12-t)$，解得$t=\frac {12}5s $；
若$AP=\frac 23AQ$，即$2t=\frac 23(12-t)$，解得$t=3s$
$ ③$当$Q $为$A$，$P $的巧点时
若$AQ=\frac 13AP$，即$(12-t)=2t×\frac 13$，解得$t=\frac {36}5s($舍去$)$
若$AQ=\frac 12AP$，即$(12-t)=2t×\frac 12$，解得$t=6s$
若$AQ=\frac 23AP$，即$(12-t)=2t×\frac 23$，解得$t=\frac {36}7s$
综上，当$t=\frac {12}7s_{或}t=\frac {12}5s_{或}t=3s $时，$P $为$A$，$Q $的巧点；
当$t=6s_{或}t=\frac {36}7s $时，$Q $为$A$，$P $的巧点
