解：$(1)$∵$∠BOD$与$∠AOC$均为$∠BOC$的补角
∴$∠BOD=∠AOC=30°$
$(2)2∠DON-∠MON=90°$，理由如下：
设$∠AOC=∠BOD=2a$
∵$OM$平分$∠AOC$
∴$∠AOM=∠COM=\frac 12∠AOC=a$
而$∠MON=90°-∠AOC=90°-2a$
得$∠AON=∠AOM+∠MON=90°-a$
则$∠DON=∠AOD-∠AON=180°-2a-(90°-a)=90°-a$
∴$2∠DON-∠MON=180°-2a-(90°-a)=90°$
