$解:(1)根据题意，得b=2×1-3=-1.$
$∴点A的坐标为(1,-1).$
$把A(1，-1)代入y=ax²(a≠0)，得-1=a×1²，$
$解得a=-1.$
$∴a=-1,b=-1$
$(2)由(1)，得抛物线对应的函数表达式为y=-x².$
$令-x²=2x-3，解得x_{1}=1，x_{2}=-3.$
$当x=-3时，y=-1×(-3)²=-9.$
$∴另一个交点B的坐标是(-3，-9)$
$(3)设直线y=2x-3与y轴交于点C，$
$令x=0，则y=-3,即点C的坐标为(0,-3).$
$∴OC=3.$
$由A(1，-1)、B(-3,-9)得点A、B到y轴的距离分别是1、3,$
$∴S_{△AOB}=S_{△AOC}+S_{△BOC}=\frac{1}{2}×1×3+\frac{1}{2}×3×3=6$
