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①②④

2或4

$(1,4)$

$解:(1)∵ 抛物线y=a(x+1)²-3与y轴交于点C(0,-\frac{8}{3}),$

$∴-\frac{8}{3}=a-3，解得a=\frac{1}{3}$

$∴抛物线对应的函数表达式为y=\frac{1}{3}(x+1)²-3.$

$令y=0,则\frac{1}{3}(x+1)²-3=0，解得x_{1}=2,x_{2}=-4.$

$∵点A在点B的左侧，$

$∴点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(2,0)$

$(2)根据题意，得D(-1，-3)、H(-1,0).\ $

$∵ A(-4,0)、B(2,0)、C(0,-\frac{8}{3}),$

$∴OA=4,OB=2,OC=\frac{8}{3},OH=1,DH=3.$

$∴AH=OA-OH=3.\ $

$∴S_{四边形ABCD}=S_{△ADH}+S_{梯形OCDH}+S_{△BOC}=\frac{1}{2}×3×3+\frac{1}{2}×(\frac{8}{3}+3)×1+\frac{1}{2}×2×\frac{8}{3}=10$

$解:(1)根据题意，可设平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)²+k.$

$把 (-1,0)代入，得0=-(-1- 1)²+k，解得k=4.$

$∴平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)²+4，即y=-x²+2x+3$

$(2)存在\ $

$∵四边形OAPQ为平行四边形，$

$∴PQ=OA=1，且PQ//OA.$

$设点P的坐标为(t,-t²+2t+3)，则点Q的坐标为(t+1,-t²+2+3).$

$把点Q的坐标代入y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}，得-t²+2t+3=\frac{3}{2}(t+1)+\frac{3}{2}.$

$整理，得2t²-t=0，解得t_{1}=0，t_{2}=\frac{1}{2}.$

$当t=0时，-t²+2t+3=3;$

$当t=\frac{1}{2}时，-t²+2t+3=\frac{15}{4}$

$∴ P_{1}(0,3)、Q_{1}(1,3)或P_{2}(\frac{1}{2}，\frac{15}{4})、Q_{2}(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$