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$解:(1)∵四边形OABC为矩形$

$A(10,0),C(0,4)$

$∴BC=OA= 10,AB=OC=4$

$∵点D是OA的中点$

$∴OD=\frac{1}{2}OA=5$

$由运动知，PC=2x,∴BP=BC-PC=10-2x$

$∵四边形PODB是平行四边形，∴PB=OD=5$

$∴10-2x=5，∴x=2.5$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$(3)\frac {10}{3}$

$解:(2)容易证得∠ABM=60°$

$∴∠CBM=∠ABC-∠ABM$

$=90°-60°= 30°$

$在正方形ABCD中$

$AB=BC，∠A=∠C=90°$

$由折叠知AB=BM,∠PMB=∠A=90°$

$∴BC=BM,∠BMQ=∠C=90°$

$在Rt△BMQ和Rt△BCQ中$

$\begin{cases}{ BM=BC }\ \\ { BQ=BQ } \end{cases}$

$∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL)$

$∴∠MBQ=∠CBQ,∴∠MBQ=\frac{1}{2}∠CBM=\frac{1}{2}×30°=15°$

$(3)\frac {24}{5}cm或\frac {8}{7}cm$