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解：​$(1)$​当滑动变阻器​$R_{2}$​的滑片​$P $​置于最左端，开关​$S_{1}$​、​$S_{2}$​都闭合时，​$R_{1}$​与​$L $​并联，因为灯泡正常发光，所以，电源的电压​$U=U_L=6\ \mathrm {V}$​，灯泡正常发光时的电阻​$R_L=\frac {U_L^2}{P_L}=\frac {(6\ \mathrm {V})^2}{3\ \mathrm {W}}=12\ \mathrm {Ω}$​

​$(2)$​当滑动变阻器​$R_{2}$​的滑片​$P $​置于最左端，开关​$S_{1}$​、​$S_{2}$​都闭合时，​$R_{1}$​与​$L $​并联，通过灯泡的电流​$I_L=\frac {U_L}{R_L}=\frac {6\ \mathrm {V}}{12\ \mathrm {Ω}}=0.5\ \mathrm {A}$​，通过​$R_{1}$​的电流​$I_{1}=I-I_L=1.1\ \mathrm {A}-0.5\ \mathrm {A}=0.6\ \mathrm {A}$​，则​$R_{1}$​的阻值​$R_{1}=\frac {U}{I_{1}}=\frac {6\ \mathrm {V}}{0.6\ \mathrm {A}}=10 \ \mathrm {Ω}$​

​$(3)$​滑片​$P $​置于最右端，只闭合​$S_{1}$​时，灯泡​$L $​与变阻器​$R_{2}$​串联，电流表测电路中的电流，此时变阻器两端的电压​$U_{2}=I'R_{2}=0.2\ \mathrm {A}×20\ \mathrm {Ω}=4\ \mathrm {V}$​，灯泡两端的电压​$U_L'=U-U_{2}=6\ \mathrm {V}-4\ \mathrm {V}=2\ \mathrm {V}$​，则灯泡实际功率​$P_L'=U_L'I'=2\ \mathrm {V}×0.2\ \mathrm {A}=0.4\ \mathrm {W}$​

解：​$(1)$​加热​$10 \mathrm {\mathrm {min}}$​电开水器消耗的电能：

​$W=P_{加}t=5500\ \mathrm {W}×10×60\ \mathrm {s}=3.3×10^6\ \mathrm {J}$​；

​$(2)$​根据​$P=UI $​可得加热时电路中的电流：

​$I=\frac {P_{加}}{U}=\frac {5500\ \mathrm {W}}{220\ \mathrm {V}}=25\ \mathrm {A}$​；

​$(3)$​开关​$S $​接​$a$​时，只有电热丝​$R_1$​接入电路，开关​$S $​接​$b$​时，电热丝​$R_1$​和​$R_2$​串联接入电路，

因串联电路电阻大于其中任一电阻，根据​$P=\frac {U^2}{R}$​可知，开关​$S $​接​$a$​时为加热状态，开关​$S $​接​$b$​时为保温状态，

由​$P=\frac {U^2}{R}$​得，​$R_1$​的阻值：

​$R_I=\frac {U^2}{P_{加}}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{5500\ \mathrm {W}}=8.8\ \mathrm {Ω}.$​

由题知，串联时电阻​$R_1$​两端电压为​$44\ \mathrm {V}$​，

因串联电流相等，结合根据串联电阻的电压特点可得，

​$\frac {U_1}{R_1}=\frac {U_2}{R_2}=\frac {U-U_1}{R_2}$​，

代入数据，

​$\frac {44\ \mathrm {V}}{8.8\ \mathrm {Ω}}=\frac {220\ \mathrm {V}-44\ \mathrm {V}}{R_2}$​，

解得：​$R_2=35.2\ \mathrm {Ω}.$​