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$解:(1)∵反比例函数y=\frac{k}{x}(x＞0)与一次函数y=mx+1的图象交于点A(2,3)$

$∴3=\frac{k}{2},3=2m+1,解得k=6,m=1$

$∴反比例函数的解析式为y=\frac{6}{x}(x＞0)，一次函数的解析式为y=x+1$

$(2)将x=4代入y=x+1，得y=5，∴点D的坐标为(4,5)$

$将x=4代入y=\frac{6}{x}，得y=\frac{3}{2},∴点B的坐标为(4,\frac{3}{2})$

$∴BD=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2},∴S_{△ABD}=\frac{1}{2}×\frac{7}{2}×(4-2)=\frac{7}{2}$

$解:(1)设直线AB对应的函数解析式为y=mx+b(m≠0)$

$将A(1,0),B(0,2)代入得\begin{cases}{ m+b=0 }\ \\ { b=2 } \end{cases}解得\begin{cases}{ m=-2 }\ \\ { b=2 } \end{cases}\ $

$∴直线AB对应的函数解析式为y=-2x+2$

$过点C作CD⊥x轴于点D$

$∵线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AC,∴易得△CAD≌△ABO$

$∴AD=BO=2,CD=AO=1,∴易得点C的坐标为(3,1)$

$∵点C在反比例函数y=\frac{k}{x}(k≠0，x＞0)的图象上，∴k=3$

$∴反比例函数的解析式为y=\frac{3}{x}(x＞0)$

$(2)由题意，可设经过点P且与直线AB平行的直线对应的函数解析式为y=-2x+h(h＞0)$

$令-2x+h=\frac {3}{x},则2x^{2}-hx+3=0$

$当△=0时，点P到直线AB的距离x 最短，∴(-h)^{2}-4×2×3=0，解得h=2\sqrt{6}或h=-2\sqrt{6}(不合题意，舍去)$

$此时易求点P的坐标为(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{6})$