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$解:(1)∵ 四边形OABC是矩形,点A,C在坐标轴上,∴AB⊥x轴,BC⊥y轴$

$∵点D的坐标为(4,1),且D为AB的中点,∴点B的坐标为(4,2),∴点E的纵坐标为2$

$∵反比例函数y=\frac{k}{x}(x＞0)的图象过点D(4,1)和点E,∴k=4×1=4$

$∴反比例函数的解析式为y=\frac{4}{x}(x＞0)$

$当y=2时,x=2， ∴点E的坐标为(2,2)$

$(2)把D(4,1)代入y=x+m，得4+m=1，解得m=-3;$

$把E(2,2)代入y=x+m，得2+m=2，解得m=0$

$∴m的取值范围是-3≤m≤0$

$解:连接PQ$

$∵点Q(-2,-3)在反比例函数y=\frac{k}{x}的图象上，∴k=-2×(-3)=6$

$∴反比例函数的解析式为y=\frac{6}{x}$

$设点P的坐标为(x,\frac{6}{x})(x＞0)$

$由题意，得QA=3,QB=2.∴S_{四边形AQBP}=S_{△AQP}+S_{△BQP}$

$=\frac{1}{2}QA×(x_{P}-x_{Q})+\frac{1}{2}QB×(y_{P}-y_{Q})=\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}+6≥2\sqrt{\frac{3x}{2}×\frac{6}{x}}+6=12$

$∴ 四边形AQBP的面积的最小值为12\ $