$解:(1)过点D作DF⊥BC于点F$ $∵AE⊥BC,∴DF//AE,∴△CDF∽△CAE,∴\frac{DF}{AE}=\frac{CD}{CA}$ $∵CD=2AD,CD+AD=CA,∴\frac{CD}{CA}=\frac{2}{3}$ $∵AE=9,∴\frac{DF}{9}=\frac{2}{3},解得DF=6$ $∵sin∠CBD=\frac{3}{4}=\frac{DF}{BD},∴BD=8$ $(2)∵BD=CD,DF⊥BC,∴BF=CF$ $由(1)，知DF=6,BD=8,∠DFB=90°,∴BF=CF=\sqrt{BD^{2}-DF^{2}}=2\sqrt{7}$ $∵DF//AE,CD=2AD,∴ CF=2EF,∴ EF= \sqrt{7},∴ BE=BF-EF= \sqrt{7}$ $∴tan∠BAE=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{7}}{9}$ $证明:(1)连接OB,∵ CB平分∠ACE，∴∠BCA=∠ECB$ $∵OB=OC,∴∠OBC=∠BCA,∴∠ECB=∠OBC,∴EC//OB$ $∵BE⊥DC,∴OB⊥BE$ $∵OB为⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线$ $(2)∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴易得∠ECB=∠BAD$ $∵cos∠BAD=\frac{2}{5}，∴cos∠ECB=\frac{2}{5}$ $∵BE⊥DC,∴cos∠ECB=\frac{EC}{BC}=\frac{2}{5}$ $∵AC是⊙O的直径，∴ ∠ABC=90°,∴ ∠ABC=∠BEC=90°$ $∵ ∠ECB=∠BCA,∴△ECB∽△BCA.∴\frac{EC}{BC}=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{5}$ $∵AC=10，∴BC=4,∴EC=\frac{8}{5}$ $解:(1)如图,过点C作CE⊥AD，垂足为E$ $由题意，得AB=CE=10cm,BC=AE=20cm$ $∵AD=50cm，∴ED=AD-AE=50-20=30cm$ $在 Rt△CED 中,CD=\sqrt{CE^{2}+ED^{2}}=10\sqrt{10}cm$ $∴可伸缩支撑杆CD的长度为10 \sqrt{10} cm$ $(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$
$解:过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F$ $交AD'于点G$ $由题意，得AB=FG=10cm$ $AG=BF,∠AGD=90°$ $在Rt△ADG中,tanα=\frac{DG}{AG}=\frac{3}{4}$ $∴ 设 DG =3x cm，则 AG=4x cm$ $∴ AD =\sqrt{AG^{2}+DG^{2}}=5x cm$ $∵AD=50cm,∴5x=50，解得x=10$ $∴AG=40cm,DG=30cm$ $∴DF=DG+FG=30+10=40cm$ $∴ BF=AG=40cm$ $∵BC=20cm,∴CF=BF-BC=40-20=20cm $ $在Rt△CFD中,CD= \sqrt{CF^{2}+DF^{2}}=20\sqrt{5}cm$ $∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20\sqrt{5}cm\ $
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