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$解:(1)过点D作DF⊥BC于点F$

$∵AE⊥BC,∴DF//AE,∴△CDF∽△CAE,∴\frac{DF}{AE}=\frac{CD}{CA}$

$∵CD=2AD,CD+AD=CA,∴\frac{CD}{CA}=\frac{2}{3}$

$∵AE=9,∴\frac{DF}{9}=\frac{2}{3},解得DF=6$

$∵sin∠CBD=\frac{3}{4}=\frac{DF}{BD},∴BD=8$

$(2)∵BD=CD,DF⊥BC,∴BF=CF$

$由(1)，知DF=6,BD=8,∠DFB=90°,∴BF=CF=\sqrt{BD^{2}-DF^{2}}=2\sqrt{7}$

$∵DF//AE,CD=2AD,∴ CF=2EF,∴ EF= \sqrt{7},∴ BE=BF-EF= \sqrt{7}$

$∴tan∠BAE=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{7}}{9}$

$证明:(1)连接OB,∵ CB平分∠ACE，∴∠BCA=∠ECB$

$∵OB=OC,∴∠OBC=∠BCA,∴∠ECB=∠OBC,∴EC//OB$

$∵BE⊥DC,∴OB⊥BE$

$∵OB为⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线$

$(2)∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴易得∠ECB=∠BAD$

$∵cos∠BAD=\frac{2}{5}，∴cos∠ECB=\frac{2}{5}$

$∵BE⊥DC,∴cos∠ECB=\frac{EC}{BC}=\frac{2}{5}$

$∵AC是⊙O的直径，∴ ∠ABC=90°,∴ ∠ABC=∠BEC=90°$

$∵ ∠ECB=∠BCA,∴△ECB∽△BCA.∴\frac{EC}{BC}=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{5}$

$∵AC=10，∴BC=4,∴EC=\frac{8}{5}$

$解:(1)如图,过点C作CE⊥AD，垂足为E$

$由题意，得AB=CE=10cm,BC=AE=20cm$

$∵AD=50cm，∴ED=AD-AE=50-20=30cm$

$在 Rt△CED 中,CD=\sqrt{CE^{2}+ED^{2}}=10\sqrt{10}cm$

$∴可伸缩支撑杆CD的长度为10 \sqrt{10} cm$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$